Quiz: Τεστ Θεωρίας | Γ Προσανατολισμού

Οι γραφικές παραστάσεις οποιωνδήποτε συναρτήσεων $f,-f$ είναι συμμετρικές μεταξύ τους ως προς τον άξονα $y'y$.

Το πεδίο ορισμού κάθε συνάρτησης $\dfrac{f}{g}$ είναι η τομή των πεδίων ορισμού $A$ και $B$ των συναρτήσεων $f$ και $g$ αντίστοιχα.

Μια συνάρτηση $f$ είναι 1 – 1, αν και μόνο αν για κάθε στοιχείο $y$ του συνόλου τιμών της η εξίσωση $f(x)=y$ έχει ακριβώς μία λύση ως προς $x$.

Κάθε συνάρτηση $f$ είναι 1 – 1, αν και μόνο αν κάθε οριζόντια ευθεία τέμνει τη γραφική της παράσταση ακριβώς σε ένα σημείο.

Κάθε συνάρτηση $f$ η οποία είναι 1 – 1 και η γραφική της παράσταση έχει κοινό σημείο $A$ με την ευθεία $y=x$, έχει αντίστροφη συνάρτηση $f^{-1}$ της οποίας η γραφική παράσταση διέρχεται, επίσης, από το σημείο $A$.

Ισχύει η ισοδυναμία

$$\displaystyle \lim_{x \to x_0}{f(x)}=\ell \Leftrightarrow \lim_{h \to 0}{f(x_0+h)}=\ell.$$

Αν $\displaystyle  \lim_{x \to x_0}{f(x)} < 0$, τότε $f(x)<0$ κοντά στο $x_0$.

Για οποιεσδήποτε συναρτήσεις $f,g$ που έχουν όριο πραγματικό αριθμό στο $x_0$, αν $f(x)<g(x)$ κοντά στο $x_0$, τότε

$$\displaystyle \lim_{x \to x_0}{f(x)} < \lim_{x \to x_0}{g(x)}.$$

Ισχύει η ισοδυναμία

$$\displaystyle \lim_{x \to x_0}{\bigl| f(x) \bigr|}=0 \Leftrightarrow \lim_{x \to x_0}{f(x)}=0.$$

Αν για τις συναρτήσεις $f,g,h$ ισχύει

$$h(x) \leq f(x) \leq g(x) \text{ κοντά στο } x_0$$

και $\displaystyle \lim_{x \to x_0}{h(x)} \neq \lim_{x \to x_0}{g(x)}$, τότε κατ' ανάγκη δεν υπάρχει το $\displaystyle \lim_{x \to x_0}{f(x)}$.

Για κάθε $x \in \mathbb{R}$ ισχύει $|\fsin{x}| \leq |x|$.

Αν $\displaystyle u=g(x), \, u_0=\lim_{x \to x_0}{g(x)}, \, \ell=\lim_{u \to u_0}{f(u)}$ και $g(x) \neq u_0$ κοντά στο $x_0$, τότε

$$\displaystyle \lim_{x \to x_0}{f \bigl( g(x) \bigr)} = \lim_{u \to u_0}{f(u)} = \ell.$$

Ισχύει η ισοδυναμία

$$\displaystyle \lim_{x \to x_0}{f(x)}=\ell \Leftrightarrow \lim_{x \to x_0}{\bigl( f(x)-\ell \bigr)}=0, \, \ell \in \mathbb{R}.$$

Αν για οποιεσδήποτε συναρτήσεις $f,g$ υπάρχει το $\displaystyle \lim_{x \to x_0}{\bigl( f(x)+g(x) \bigr)}$, τότε υπάρχουν και τα όρια

$$\displaystyle \lim_{x \to x_0}{f(x)}, \lim_{x \to x_0}{g(x)}.$$

Αν για τις συναρτήσεις $f,g,h$ ισχύει

$$h(x)<f(x)<g(x) \text{ κοντά στο } x_0$$ και $\displaystyle \lim_{x \to x_0}{h(x)} = \lim_{x \to x_0}{g(x)} = \ell \in \mathbb{R}$, τότε

$$\displaystyle \lim_{x \to x_0}{f(x)} = \ell.$$

Αν $\displaystyle \lim_{x \to x_0}{f(x)} = +\infty$, τότε $\displaystyle \lim_{x \to x_0}{\frac{1}{f(x)}} = 0$.

Αν $\displaystyle \lim_{x \to x_0}{f(x)} = 0$ και $f(x)>0$ κοντά στο $x_0$, τότε

$$\displaystyle \lim_{x \to x_0}{\frac{1}{f(x)} = -\infty}.$$

Αν $f(x)<g(x)$ κοντά στο $x_0$ και $\displaystyle \lim_{x \to x_0}{f(x)} = +\infty$, τότε

$$\displaystyle \lim_{x \to x_0}{g(x)} = +\infty.$$

Ισχύει $\displaystyle \lim_{x \to 0}{\frac{1}{x^{2\nu+1}}} = -\infty, \, \nu \in \mathbb{N}$.

Για κάθε $\nu \in \mathbb{N}^\ast$ ισχύει $\displaystyle \lim_{x \to -\infty}{x^{\nu}} = -\infty$.

Αν $\alpha > 1$, τότε $\displaystyle \lim_{x \to -\infty}{\alpha^{x}} = 0$.

Ισχύει $\displaystyle \lim_{x \to 0}{\ln{x}} = 1$.

Για οποιεσδήποτε συναρτήσεις $f,g$ που είναι συνεχείς σε κάποιο σημείο $x_0$ του πεδίου ορισμού τους, η σύνθεσή τους $f \circ g$ είναι και αυτή συνεχής στο $x_0$.

Για κάθε συνάρτηση $f$ που είναι συνεχής σε ένα κλειστό διάστημα $[\alpha,\beta]$, αν $f(\alpha) f(\beta) \geq 0$, τότε η εξίσωση $f(x)=0$ δεν έχει λύση στο ανοιχτό διάστημα $(\alpha,\beta)$.

Αν μια συνάρτηση $f$ είναι συνεχής σε ένα κλειστό διάστημα $[\alpha,\beta]$ και ισχύει $f(\alpha) f(\beta) < 0$, τότε η γραφική της παράσταση τέμνει τον άξονα $x'x$ σε ένα τουλάχιστον σημείο.

Κάθε συνάρτηση $f$ η οποία δεν είναι συνεχής σε ένα κλειστό διάστημα $[\alpha,\beta]$ του πεδίου ορισμού της δεν παίρνει όλες τις τιμές μεταξύ των $f(\alpha)$ και $f(\beta)$.

Η εικόνα $f(\varDelta)$ ενός διαστήματος $\varDelta$ μέσω μιας συνεχούς και μη σταθερής συνάρτησης $f$ είναι διάστημα.

Κάθε συνάρτηση $f$ δεν είναι συνεχής σε κάποιο σημείο $x_0$ του πεδίου ορισμού της, αν και μόνο αν υπάρχει το όριό της στο $x_0$, αλλά είναι διαφορετικό από την τιμή της $f(x_0)$.

Κάθε συνάρτηση $f$ η οποία είναι συνεχής στο πεδίο ορισμού της και δεν μηδενίζεται σε αυτό διατηρεί σταθερό πρόσημο.

Κάθε συνεχής συνάρτηση $f$ διατηρεί σταθερό πρόσημο σε κάθε ένα από τα διαστήματα στα οποία οι διαδοχικές ρίζες της χωρίζουν το πεδίο ορισμού της.

Κάθε συνάρτηση $f$ η οποία δεν είναι συνεχής σε ένα κλειστό διάστημα $[\alpha,\beta]$ δεν έχει μέγιστη και ελάχιστη τιμή σε αυτό.

Η εικόνα $f(\varDelta)$ ενός ανοιχτού διαστήματος $\varDelta = (\alpha,\beta)$ μέσω κάθε συνεχούς και μη σταθερής συνάρτησης $f$ είναι ανοιχτό διάστημα.

Η εικόνα $f(\varDelta)$ ενός ανοιχτού διαστήματος $\varDelta = (\alpha,\beta)$ μέσω κάθε συνεχούς και γνησίως μονότονης συνάρτησης $f$ είναι ανοιχτό διάστημα.

Αν μια συνάρτηση $f$ είναι συνεχής και γνησίως φθίνουσα σε ένα ανοιχτό διάστημα $(\alpha,\beta)$, τότε το σύνολο τιμών της σε αυτό είναι το ανοιχτό διάστημα $(B,A)$, όπου

$$\displaystyle B = \lim_{x \to \beta^{-}}{f(x)} \quad \text{ και } \quad A = \lim_{x \to \alpha^{+}}{f(x)}.$$

Υπάρχει συνάρτηση $f$ η οποία είναι συνεχής σε ένα κλειστό διάστημα $[\alpha,\beta]$, δεν είναι γνησίως αύξουσα και έχει σύνολο τιμών σε αυτό το κλειστό διάστημα $\bigl[ f(\alpha),f(\beta) \bigr]$.

Αν μια συνάρτηση $f$ είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα σε ένα διάστημα $(\alpha,\beta]$, τότε το σύνολο τιμών της σε αυτό είναι το διάστημα $(A,B]$, όπου

$$\displaystyle A = \lim_{x \to \alpha^{+}}{f(x)} \quad \text{ και } \quad B = \lim_{x \to \beta^{-}}{f(x)}.$$

Κάθε συνάρτηση $f$ είναι παραγωγίσιμη σε ένα σημείο $x_0$ του πεδίου ορισμού της, αν και μόνο αν υπάρχει το $\displaystyle \lim_{x \to x_0}{\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}}$.

Αν μια συνάρτηση $f$ είναι παραγωγίσιμη σε ένα σημείο $x_0$ του πεδίου ορισμού της, τότε

$$\displaystyle f'(x_0) = \lim_{h \to 0}{\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}}.$$

Κάθε συνάρτηση $f$ η οποία δεν είναι παραγωγίσιμη σε ένα σημείο $x_0$ του πεδίου ορισμού της δεν είναι και συνεχής σε αυτό.

Αν μια συνάρτηση $f$ δεν είναι συνεχής σε ένα σημείο $x_0$ του πεδίου ορισμού της, τότε δεν είναι και παραγωγίσιμη σε αυτό.

Κάθε συνάρτηση $f$ η οποία είναι συνεχής σε ένα σημείο $x_0$ του πεδίου ορισμού της είναι και παραγωγίσιμη σε αυτό.

Μια συνάρτηση $f$ λέμε ότι είναι παραγωγίσιμη στο πεδίο ορισμού της $A$, όταν είναι παραγωγίσιμη σε κάθε σημείο $x_0 \in A$.

Η συνάρτηση $f(x) = \sqrt{x}$ είναι παραγωγίσιμη στο πεδίο ορισμού της.

Ισχύει $(\fcos{x})' = -\fsin{x}, \, x \in \mathbb{R}$.

Ισχύει

$$(\ftan{x})' = -\dfrac{1}{\fsin^2{x}}, \, x \in \mathbb{R} - \bigl\{ x \bigm| \fsin{x}=0 \bigr\}.$$

Για κάθε φυσικό αριθμό $\nu \geq 3$ ισχύει

$$f^{(\nu)} = \bigl[ f^{(\nu-1)} \bigr]'.$$

Αν $\alpha>0$, τότε $\bigl( \alpha^{x} \bigr)' = x \cdot \alpha^{x-1}, \, x \in \mathbb{R}$.

Ισχύει $\bigl( \ln|x| \bigr)' = -\dfrac{1}{|x|}, \, x<0$.

Αν η συνάρτηση $g$ είναι παραγωγίσιμη στο $x_0$ και η $f$ παραγωγίσιμη στο $g(x_0)$, τότε η συνάρτηση $f \circ g$ είναι παραγωγίσιμη στο $x_0$ και ισχύει
$$\bigl( f \circ g \bigr)'(x_0) = f' \bigl( g(x_0) \bigr) g'(x_0).$$

Αν δύο μεταβλητά μεγέθη $x,y$ συνδέονται με τη σχέση $y=f(x)$, όταν $f$ είναι μια συνάρτηση παραγωγίσιμη στο $x_0$, τότε ονομάζουμε ρυθμό μεταβολής του $y$ ως προς το $x$ στο σημείο $x_0$ την παράγωγο $f'(x_0)$.

Αν $s$ είναι η συνάρτηση θέσης ενός κινητού που κινείται κατά μήκος ενός άξονα και $\alpha$ η συνάρτηση της επιτάχυνσής του, τότε $\alpha(t) = s''(t)$ για κάθε χρονική στιγμή $t$.

Για κάθε συνάρτηση $f$ που είναι συνεχής σε ένα κλειστό διάστημα $[\alpha,\beta]$ και παραγωγίσιμη στο ανοιχτό διάστημα $(\alpha,\beta)$, αν $f(\alpha) \neq f(\beta)$, τότε $f'(x) \neq 0$ για κάθε $x \in (\alpha,\beta)$.

Για κάθε συνάρτηση $f$ που είναι συνεχής σε ένα κλειστό διάστημα $[\alpha,\beta]$ και παραγωγίσιμη στο ανοιχτό διάστημα $(\alpha,\beta)$, αν $f'(x) \neq 0$ για κάθε $x \in (\alpha,\beta)$, τότε $f(\alpha) \neq f(\beta)$.

Αν μια συνάρτηση $f$ είναι παραγωγίσιμη στο $\mathbb{R}$ και δεν αντιστρέφεται, τότε υπάρχει σημείο της $C_f$ στο οποίο η εφαπτομένη της είναι παράλληλη στον άξονα $x'x$.

Έστω μια συνάρτηση $f$ η οποία είναι συνεχής σε ένα κλειστό διάστημα $[\alpha,\beta]$ και παραγωγίσιμη στο ανοιχτό διάστημα $(\alpha,\beta)$. Αν $A \bigl( \alpha,f(\alpha) \bigr)$ και $B \bigl( \beta,f(\beta) \bigr)$, τότε υπάρχει ένα τουλάχιστον $\xi \in (\alpha,\beta)$ τέτοιο, ώστε η εφαπτομένη της $C_f$ στο σημείο $M \bigl( \xi,f(\xi) \bigr)$ να είναι παράλληλη προς την ευθεία $AB$.

Για κάθε συνάρτηση $f$ που είναι παραγωγίσιμη και μη σταθερή σε ένα διάστημα $\varDelta$ ισχύει $f'(x) \neq 0$ για κάθε $x \in \varDelta$.

Για οποιεσδήποτε συναρτήσεις $f,g$ που είναι παραγωγίσιμες σε ένα σύνολο $A$, αν $f'(x) = g'(x)$ για κάθε $x \in A$, τότε υπάρχει σταθερά $c \in \mathbb{R}$ τέτοια, ώστε

$$f(x) = g(x) + c \text{ για κάθε } x \in A.$$

Για κάθε συνάρτηση $f$ που είναι παραγωγίσιμη και γνησίως αύξουσα σε ένα διάστημα $\varDelta$ ισχύει $f'(x)>0$ για κάθε $x \in \varDelta$.

Έστω μια συνάρτηση $f$ η οποία είναι παραγωγίσιμη στο $\mathbb{R}$. Αν $f'(x) \neq 0$ για κάθε $x \in \mathbb{R}$, τότε η $f$ έχει το πολύ μία ρίζα.

Για κάθε συνάρτηση $f$ που είναι συνεχής σε ένα κλειστό διάστημα $[\alpha,\beta]$ και παραγωγίσιμη στο ανοιχτό διάστημα $(\alpha,\beta)$ υπάρχει ένα τουλάχιστον $\xi \in (\alpha,\beta)$ τέτοιο, ώστε

$$(\alpha-\beta) f'(\xi) + f(\alpha) = f(\beta).$$

Κάθε συνάρτηση $f$ για την οποία ισχύει $f'(x)=0$ για κάθε $x \in \mathbb{R}^\ast$ είναι σταθερή στο $\mathbb{R}^\ast$.

Αν οι συναρτήσεις $f,g$ είναι παραγωγίσιμες σε ένα διάστημα $\varDelta$, τότε ισχύει η ισοδυναμία

$$f'(x)=g'(x) \Leftrightarrow f(x)=g(x)+c$$

για κάθε $x \in \varDelta$, όπου $c \in \mathbb{R}$.

Για κάθε συνάρτηση $f$ που είναι ορισμένη σε ένα διάστημα $\varDelta$, αν $f'(x)<0$ για κάθε εσωτερικό σημείο $x$ του $\varDelta$, τότε η $f$ είναι γνησίως φθίνουσα σε όλο το διάστημα $\varDelta$.

Αν μια συνάρτηση $f$ είναι συνεχής σε ένα διάστημα $\varDelta$ και ισχύει $f'(x)>0$ για κάθε εσωτερικό σημείο $x$ του $\varDelta$, τότε η $f$ είναι γνησίως αύξουσα σε όλο το διάστημα $\varDelta$.

Αν η παράγωγος συνάρτηση, $f'$, της $f$ είναι συνεχής σε ένα ανοιχτό διάστημα $(\alpha,\beta)$ και ισχύει $f'(x) \neq 0$ για κάθε $x \in (\alpha,\beta)$, τότε η $f$ είναι γνησίως μονότονη στο $(\alpha,\beta)$.

Για κάθε συνάρτηση $f$ που παρουσιάζει ολικό μέγιστο, αυτό είναι το μεγαλύτερο από τα τοπικά της μέγιστα.

Κάθε συνάρτηση $f$ η οποία παρουσιάζει τοπικά ελάχιστα, παρουσιάζει και ολικό ελάχιστο που είναι το μικρότερο από τα τοπικά της ελάχιστα.

Τα εσωτερικά σημεία ενός διαστήματος $\varDelta$ στα οποία μια συνάρτηση $f$ δεν παραγωγίζεται ή η παράγωγός της είναι ίση με το μηδέν λέγονται κρίσιμα σημεία της $f$ στο διάστημα αυτό.

Έστω μια συνάρτηση $f$ ορισμένη σε ένα διάστημα $\varDelta$. Αν η $f$ είναι παραγωγίσιμη σε ένα εσωτερικό σημείο $x_0$ του $\varDelta$ και ισχύει $f'(x_0)=0$, τότε κατ' ανάγκη η $f$ παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο $x_0$.

Έστω μια συνάρτηση $f$ παραγωγίσιμη σε ένα ανοιχτό διάστημα $(\alpha,\beta)$, με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του $x_0$ στο οποίο όμως η $f$ είναι συνεχής. Αν $f'(x)<0$ στο $(\alpha,x_0)$ και $f'(x)>0$ στο $(x_0,\beta)$, τότε το $f(x_0)$ είναι τοπικό μέγιστο της $f$.

Για κάθε συνάρτηση $f$ που είναι παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα $\varDelta$, οι πιθανές θέσεις των τοπικών ακροτάτων της σε αυτό είναι τα εσωτερικά σημεία του $\varDelta$ στα οποία η $f'$ μηδενίζεται και τα άκρα του $\varDelta$ που ανήκουν στο πεδίο ορισμού της.

Για κάθε συνάρτηση $f$ που είναι συνεχής σε ένα κλειστό διάστημα $[\alpha,\beta]$, η μικρότερη από τις τιμές της στα κρίσιμα σημεία της και στα άκρα $\alpha,\beta$ είναι το ελάχιστο της σε αυτό το διάστημα.

Έστω μια συνάρτηση $f$ η οποία είναι παραγωγίσιμη σε ένα ανοιχτό διάστημα $(\alpha,\beta)$. Αν οποιαδήποτε εφαπτομένη της $C_f$ δεν είναι παράλληλη στον άξονα $x'x$, τότε η $f$ δεν έχει ακρότατα στο διάστημα αυτό.

Έστω μια συνάρτηση $f$ παραγωγίσιμη στο πεδίο ορισμού της $(\alpha,\beta)$. Αν η $f$ δεν έχει κρίσιμα σημεία, τότε είναι 1 – 1.

Έστω μια συνάρτηση $f$ δύο φορές παραγωγίσιμη σε ένα ανοιχτό διάστημα $(\alpha,\beta)$. Αν η $f''$ είναι γνησίως μονότονη, τότε η $f$ έχει το πολύ δύο ακρότατα στο διάστημα αυτό.

Έστω μια συνάρτηση $f$ η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα $\varDelta$ και παραγωγίσιμη στο εσωτερικό του. Θα λέμε ότι η $f$ στρέφει τα κοίλα άνω ή είναι κυρτή στο $\varDelta$, αν η $f'$ είναι γνησίως αύξουσα στο εσωτερικό του $\varDelta$.

Αν μια συνάρτηση $f$ είναι κυρτή στο πεδίο ορισμού της, τότε οποιαδήποτε εφαπτομένη της $C_f$ δεν βρίσκεται «πάνω» από τη γραφική της παράσταση.

Έστω μια συνάρτηση $f$ η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα $\varDelta$ και δύο φορές παραγωγίσιμη στο εσωτερικό του. Αν $f''(x)<0$ για κάθε εσωτερικό σημείο $x$ του $\varDelta$, τότε η $f$ στρέφει τα κοίλα κάτω στο $\varDelta$.

Για κάθε συνάρτηση $f$ που είναι δύο φορές παραγωγίσιμη και κυρτή σε ένα διάστημα $\varDelta$ ισχύει $f''(x)>0$ για κάθε $x \in \varDelta$.

Έστω μια συνάρτηση $f$ η οποία είναι παραγωγίσιμη σε ένα ανοιχτό διάστημα $(\alpha,\beta)$ και $x_0 \in (\alpha, \beta)$. Αν η $f$ είναι κυρτή στο $(\alpha,x_0)$ και κοίλη στο $(x_0,\beta)$, ή αντιστρόφως, τότε το σημείο $A \bigl( x_0,f(x_0) \bigr)$ είναι σημείο καμπής της $C_f$.

Αν μια συνάρτηση $f$ είναι δύο φορές παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα $\varDelta$ και παρουσιάζει στο $x_0 \in \varDelta$ καμπή, τότε $f''(x_0)=0$.

Αν μια συνάρτηση $f$ είναι δύο φορές παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα $\varDelta$ και ισχύει $f''(x) \neq 0$ για κάθε $x \in \varDelta$, τότε η $f$ δεν παρουσιάζει καμπή στο διάστημα αυτό.

Έστω μια συνάρτηση $f$ η οποία είναι παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα $\varDelta$. Αν η ευθεία $\varepsilon \colon y = \lambda x + \beta$ είναι η εφαπτομένη της $C_f$ στο $x_0 \in \varDelta$ και η $f'$ είναι γνησίως μονότονη στο $\varDelta$, τότε

$$f(x) \neq \lambda x + \beta$$

για κάθε $x \in \varDelta$ και $x \neq x_0$.

Η ευθεία $x=x_0$ είναι κατακόρυφη ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης κάθε συνάρτησης $f$, αν και μόνο αν και τα δύο όρια

$$\displaystyle \lim_{x \to x_0^{-}}{f(x)}, \lim_{x \to x_0^{+}}{f(x)}$$

είναι ίσα με $+\infty$ ή $-\infty$.

Η ευθεία $y=\beta$ είναι οριζόντια ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης μιας συνάρτησης $f$ στο $-\infty$, αν και μόνο αν ισχύει

$$\displaystyle \lim_{x \to -\infty}{f(x)} = \beta \in \mathbb{R}.$$

Η ευθεία $y = \lambda x + \beta$ είναι ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης μιας συνάρτησης $f$ στο $+\infty$, αν και μόνο αν ισχύουν
$$\displaystyle \lim_{x \to +\infty}{\frac{f(x)}{x}} = \lambda \in \mathbb{R}$$

και

$$\lim_{x \to +\infty}{\bigl( f(x) - \lambda x \bigr)} = \beta \in \mathbb{R}.$$

Η γραφική παράσταση μιας πολυωνυμικής συνάρτησης βαθμού μεγαλύτερου ή ίσου του 2 δεν έχει ασύμπτωτες.

Η γραφική παράσταση κάθε συνάρτησης έχει το πολύ δύο κατακόρυφες ασύμπτωτες.

Η γραφική παράσταση κάθε συνάρτησης έχει το πολύ δύο οριζόντιες ή πλάγιες ασύμπτωτες.

H γραφική παράσταση κάθε συνάρτησης δεν έχει κοινά σημεία με τις ασύμπτωτές της.

Αν $\displaystyle \lim_{x \to x_0}{f(x)} = +\infty, \, \lim_{x \to x_0}{g(x)} = -\infty$ και δεν υπάρχει το $\displaystyle \lim_{x \to x_0}{\frac{f'(x)}{g'(x)}}$, τότε κατ' ανάγκη δεν υπάρχει και το

$$\displaystyle \lim_{x \to x_0}{\frac{f(x)}{g(x)}}.$$

Κάθε συνεχής συνάρτηση σε ένα διάστημα $\varDelta$ έχει παράγουσα σε αυτό.

Κάθε συνάρτηση έχει το πολύ μία παράγουσα σε οποιοδήποτε διάστημα $\varDelta$ του πεδίου ορισμού της.

Ισχύει $\displaystyle \int_{\alpha}^{\beta} \! f(x) \fd{x} = -\int_{\beta}^{\alpha} \! f(x) \fd{x}$.

Ισχύει $\displaystyle \int_{\alpha}^{\alpha} \! f(x) \fd{x} = 0$.

Για κάθε συνάρτηση $f$ που είναι συνεχής σε ένα διάστημα $\varDelta$ και για οποιαδήποτε $\alpha,\beta,\gamma \in \varDelta$ ισχύει
$$\displaystyle \int_{\alpha}^{\beta} \! f(x) \fd{x} = \int_{\alpha}^{\gamma} \! f(x) \fd{x} + \int_{\beta}^{\gamma} \! f(x) \fd{x}.$$

Αν μια συνάρτηση $f$ είναι συνεχής σε ένα διάστημα $\varDelta$ και $\alpha \in \varDelta$, τότε
$$\displaystyle {\biggl( \int_{\alpha}^{x} \! f(t) \fd{t} \biggr) \!}' = f(x) \text{ για κάθε } x \in \varDelta.$$

Για οποιεσδήποτε συναρτήσεις $f,g$ που είναι παραγωγίσιμες με $f',g'$ συνεχείς σε ένα κλειστό διάστημα $[\alpha,\beta]$ ισχύει
$$\displaystyle \int_{\alpha}^{\beta} \!\!\! f(x)g'(x) \! \fd{x} \! = \! \bigl[ f(x)g(x) \bigr]_{\alpha}^{\beta} \! + \!\! \int_{\alpha}^{\beta} \!\!\! f'(x)g(x) \! \fd{x}.$$

Αν οι συναρτήσεις $f,g'$ είναι συνεχείς σε ένα κλειστό διάστημα $[\alpha,\beta]$, τότε
$$\displaystyle \int_{\alpha}^{\beta} \! f \bigl( g(x) \bigr) g'(x) \fd{x} = \int_{g(\alpha)}^{g(\beta)} \! f(u) \fd{u},$$
όπου $u=g(x), \, \fd{u} = g'(x) \fd{x}$ και $u_1 = g(\alpha), \, u_2 = g(\beta)$.

Υπάρχει συνάρτηση $f$ η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα $\varDelta$ και δεν έχει παράγουσα σε αυτό.

Οι γραφικές παραστάσεις όλων των παραγουσών της συνάρτησης $f$ στο διάστημα $\varDelta$ έχουν παράλληλες εφαπτομένες στο $x_0 \in \varDelta$.

Ισχύει $\displaystyle {\biggl( \int_{\alpha}^{\beta} \! f(x) \fd{x} \biggr) \!}' = 0$.

Για οποιαδήποτε $\alpha,\beta,c \in \mathbb{R}$ ισχύει

$$\displaystyle \int_{\alpha}^{\beta} \! c \, \fd{x} = c \, (\alpha-\beta).$$

Για κάθε συνάρτηση $f$ που είναι παραγωγίσιμη με συνεχή παράγωγο σε ένα κλειστό διάστημα $[\alpha,\beta]$ ισχύει

$$\displaystyle \int_{\alpha}^{\beta} \! f'(x) \fd{x} = f(\beta) - f(\alpha).$$

Για κάθε συνάρτηση $f$ που είναι συνεχής σε ένα κλειστό διάστημα $[\alpha,\beta]$, αν $\displaystyle \int_{\alpha}^{\beta} \! f(x) \fd{x} \geq 0$, τότε $f(x) \geq 0$ για κάθε $x \in [\alpha,\beta]$.

Για οποιεσδήποτε συναρτήσεις $f,g$ που είναι συνεχείς σε ένα κλειστό διάστημα $[\alpha,\beta]$, αν $f(x) \geq g(x)$ για κάθε $x \in [\alpha,\beta]$ και $f \neq g$ στο $[\alpha,\beta]$, τότε
$$\displaystyle \int_{\alpha}^{\beta} \! f(x) \fd{x} > \int_{\alpha}^{\beta} \! g(x) \fd{x}.$$

Για οποιεσδήποτε συνεχείς συναρτήσεις $f,g$ σε ένα κλειστό διάστημα $[\alpha,\beta]$, αν $f(x) \geq g(x)$ για κάθε $x \in [\alpha,\beta]$, τότε

$$\displaystyle \int_{\beta}^{\alpha} \! f(x) \fd{x} \leq \int_{\beta}^{\alpha} \! g(x) \fd{x}.$$

Έστω μια συνάρτηση $f$ συνεχής σε ένα κλειστό διάστημα $[\alpha,\beta]$. Αν $f(x) \! \leq \! 0$ για κάθε $x \in [\alpha,\beta]$ και υπάρχει $x_0 \in [\alpha,\beta]$ τέτοιο, ώστε $f(x_0) \neq 0$, τότε
$$\displaystyle \int_{\alpha}^{\beta} \! f(x) \fd{x} < 0.$$

Για κάθε συνεχή συνάρτηση $f$ στο $\mathbb{R}$ ισχύει η ισοδυναμία
$$\int_{\alpha}^{\beta} \! f(x) \fd{x} = 0 \Leftrightarrow \alpha = \beta.$$

Για κάθε συνεχή συνάρτηση $f$ σε ένα κλειστό διάστημα $[\alpha,\beta]$ ισχύει η ισοδυναμία

$$\displaystyle \int_{\alpha}^{\beta} \! f^{2}(x) \fd{x} = 0 \Leftrightarrow f(x)=0$$

για κάθε $x \in [\alpha,\beta]$.

Για κάθε συνάρτηση $f$ που είναι συνεχής σε ένα κλειστό διάστημα $[\alpha, \beta]$ και δεν μηδενίζεται παντού σε αυτό ισχύει $\displaystyle \int_{\alpha}^{\beta} \! f(x) \fd{x} \neq 0$.

Για οποιεσδήποτε συνεχείς συναρτήσεις $f,g$ σε ένα κλειστό διάστημα $[\beta,\alpha]$, το εμβαδόν του χωρίου $\varOmega$ που περικλείεται από τις γραφικές παραστάσεις των $f,g$ και τις ευθείες $x=\alpha, \, x=\beta$ είναι
$$\displaystyle E(\varOmega) = \int_{\beta}^{\alpha} \bigl| f(x)-g(x) \bigr| \fd{x}.$$

Για κάθε συνεχή συνάρτηση $f$ σε ένα κλειστό διάστημα $[\alpha,\beta]$, το άθροισμα των εμβαδών των χωρίων που βρίσκονται πάνω από τον άξονα $x'x$ μείον το άθροισμα των εμβαδών των χωρίων που βρίσκονται κάτω από τον άξονα $x'x$ ισούται με το
$$\displaystyle \int_{\alpha}^{\beta} \! f(x) \fd{x}.$$